Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF．

（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若∠A=30°，求证：DG=DA；

（3）若∠A=30°，且图中阴影部分的面积等于2，求⊙O的半径的长．

Answer

（1）EF是⊙O的切线，理由详见解析；（2）详见解析；（3）⊙O的半径的长为2．

【解析】

（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠

OEG=90°，即可得到结论；

（2）根据含30°的直角三角形的性质证明即可；

（3）由AD是⊙O的直径，得到∠AED=90°，根据三角形的内角和得到∠EOD=60°，求得

∠EGO=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．

【解析】
（1）连接OE，

∵OA=OE，

∴∠A=∠AEO，

∵BF=EF，

∴∠B=∠BEF，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠AEO+∠BEF=90°，

∴∠OEG=90°，

∴EF是⊙O的切线；

（2）∵∠AED=90°，∠A=30°，

∴ED=AD，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠B=∠BEF=60°，

∵∠BEF+∠DEG=90°，

∴∠DEG=30°，

∵∠ADE+∠A=90°，

∴∠ADE=60°，

∵∠ADE=∠EGD+∠DEG，

∴∠DGE=30°，

∴∠DEG=∠DGE，

∴DG=DE，

∴DG=DA；

（3）∵AD是⊙O的直径，

∴∠AED=90°，

∵∠A=30°，

∴∠EOD=60°，

∴∠EGO=30°，

∵阴影部分的面积

解得：r2=4，即r=2，

即⊙O的半径的长为2．