Question

已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD．

（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD；

（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；

（3）如图2，抛物线y＝﹣x²+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)见解析;(2) 综上，t1＝2，t2＝，t3＝;(3)见解析.

【解析】

（1）证，可以证明它们所在的三角形全等，即证明：；已知的条件有：，，只需再找出一组对应角相等即可，通过图示可以发现、是同角的余角，这两个角相等，那么证明三角形全等的全部条件都已得出，则结论可证；

（2）点在轴上运动，那么就需分三种情况讨论：

①点在轴负半轴上；可以延续（1）的解题思路，先证明、全等，那么得到的条件是，然后用表示、的长，再根据给出的相似三角形得到的比例线段，列等式求出此时的值，要注意的正负值的判断；

②点在线段上时；由于、都小于等于正方形的边长（即、），所以只有时，给出的两个三角形才有可能相似（此时是全等），可据此求出的值；

③点在点的右侧时；方法同①；

（3）这道题要分两种情况讨论：

①线段为平行四边形的对角线，那么点、关于的中点对称即两点的纵坐标互为相反数，而，即、的横坐标相同，那么先用表示出点的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定的值；

②线段为平行四边形的边；先用表示出的长，把点向左或向右平移长个单位就能表达出点的坐标，代入抛物线解析式后即可得到的值.

（1）证明：∵OD⊥AH，

∴∠OAP＝∠DOC＝90°﹣∠AOD；

正方形OABC中，OA＝OC＝4，∠AOP＝∠OCD＝90°，即：

∵，

∴△AOP≌△OCD

∴OP＝CD．

（2）【解析】
①点P在x轴负半轴上时，P（t，0），且t＜0，如图①；

∵在Rt△AOP中，OH⊥AP，

∴∠POH＝∠PAO＝90°﹣∠APO；

又∵∠POH＝∠COD，

∴∠COD＝∠PAO；

在△AOP与△OCD中，

∵，

∴△AOP≌△OCD；

∴OP＝CD＝﹣t，则：BD＝BC+CD＝4﹣t；

若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，则有：

，得：，

解得：或（正值舍去）；

②当点P在线段OC上时，P（t，0），0＜t≤4，如图②；

因为OP＜OA、BD＜AB、OA＝AB，

若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，那么有：，所以OP＝BD，即：

t＝4﹣t，t＝2；

③当点P在点C右侧时，P（t，0），t＞4，如图③；

同①可求得；

综上，t1＝2，，．

（3）【解析】
假设存在符合条件的点Q，分两种情况讨论：

①PC为平行四边形的对角线，则QP∥CD，且QP＝CD；

若P（t，0）、D（4，t），则Q（t，﹣t），代入抛物线中，得：

，即：t2﹣10t﹣24＝0，

解得：t1＝﹣2，t2＝12；

②PC为平行四边形的边，则DQ∥PC，且QD＝PC；

若P（t，0）、D（4，t），则 PC＝QD＝|t﹣4|，Q（t，t）或（8﹣t，t）；

Q（t，t）时，，即：t2+2t﹣24＝0，

解得 t1＝4（舍）、t2＝﹣6；

Q（8﹣t，t）时，，即：t2﹣6t+8＝0，

解得 t1＝4（舍）、t2＝2．

综上可知，t1＝2，t2＝12，t3＝﹣6，t4＝﹣2．

∴存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形．