Question

如图1，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M.已知点A(－3，4)．

(1)求AO的长；

(2)求直线AC的解析式和点M的坐标；

(3)如图2，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A－B－C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S.

①求S与t的函数关系式；

②求S的最大值．

　

图1                   图2

Answer

（1）5；（2）y＝－x＋，M（0，）；（3）①S＝；②.

【解析】

（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可；

（2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（-3，4），C（5，0）代入得到方程组，求出即可；

（3）①过M作MN⊥BC于N，根据角平分线性质求出MN，P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P在BC上，根据三角形面积公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案．

（1）∵A（-3，4），

∴AH=3，OH=4，

由勾股定理得：AO==5；

（2）∵四边形OABC是菱形，

∴OA=OC=BC=AB=5，

5-3=2，

∴B（2，4），C（5，0），

设直线AC的解析式是y=kx+b，

把A（-3，4），C（5，0）代入得： ，

解得：，

∴直线AC的解析式为y＝－x＋，

当x=0时，y=2.5，

∴M（0，2.5）；

（3）①过M作MN⊥BC于N，

∵四边形OABC是菱形，

∴∠BCA=∠OCA，

∵MO⊥CO，MN⊥BC，

∴OM=MN，

当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4-2.5=，

=×BP×MH=×（5-2t）×=-t+，

∴S＝−t+，

当t=2.5时，P与B重合，△PMB不存在；

当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t-5）×=t-，

∴S＝t−，

故S＝；

②当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是×5×=，
同理在BC上时，P与C重合时，S最大是×5×=，
∴S的最大值是．