Question

如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N。

（1）求证：四边形CMAN是平行四边形。

（2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长。

Answer

（1）详见解析；（2）5．

【解析】

试题（1）通过AE⊥BD，CF⊥BD证明AE∥CF，再由四边形ABCD是平行四边形得到AB∥CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形CMAN是平行四边形；（2）证明△MDE≌∠NBF，根据全等三角形的性质可得DE=BF=4，再由勾股定理得BN=5．

试题解析：（1）证明：∵AE⊥BD CF⊥BD

∴AE∥CF

又∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD

∴四边形CMAN是平行四边形

（2）由（1）知四边形CMAN是平行四边形

∴CM=AN．

又∵四边形ABCD是平行四边形

∴ AB=CD，∠MDE=∠NBF．

∴AB-AN=CD-CM，即DM=BN．

在△MDE和∠NBF中

∠MDE=∠NBF，∠DEM=∠BFN=90°，DM=BN

∴△MDE≌∠NBF

∴DE=BF=4，

由勾股定理得BN===5．

答：BN的长为5．