Question

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,线段BD的垂直平分线EG交AB于点E,交BD于点G.

(1)当∠B=30°时,AE和EF有什么关系?请说明理由.

(2)当点D在BC的延长线上(CD<BC)运动时,点E是否在线段AF的垂直平分线上?

Answer

（1）AE=EF（2）点E是在线段AF的垂直平分线上

【解析】

（1）根据线段垂直平分线性质得出DE=BE，求出∠D=∠B=30°，根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠A=∠DEA=60°，即可得出答案.
（2）求出∠A=∠AFE，根据线段垂直平分线性质得出即可．

【解析】

(1)AE=EF.理由如下:

∵线段BD的垂直平分线EG交AB于点E,交BD于点G,

∴DE=BE，

∵∠B=30°,

∴∠D=∠B=30°，

∴∠DEA=∠D+∠B=60°,

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,

∴∠A=60°,

∴∠A=∠DEA=60°,

∴△AEF是等边三角形,

∴AE=EF.

(2)点E是在线段AF的垂直平分线上.理由如下:

∵∠B=∠D,∠ACB=90°=∠FCD,

∴∠A=∠DFC,

∵∠DFC=∠AFE,

∴∠A=∠AFE,

∴EF=AE,

∴点E在线段AF的垂直平分线上.