Question

如图所示,在正方形中, 是的中点, 是上一点,且.求证: .

Answer

证明见解析.

【解析】延长AB到F，使BF=CE，连接EF与BC相交于点N，利用“角角边”证明△BFN和△CEN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=CN，EN=FN，再根据正方形的性质可得∠BAN=∠DAM，然后求出∠BAN=∠EAN，再根据等腰三角形三线合一可得AE=AF，从而得证．

证明：如图，延长AB到F，使BF=CE，连接EF与BC相交于点N，

在△BFN和△CEN中，

，

∴△BFN≌△CEN（AAS），

∴BN=CN，EN=FN，

又∵M是CD的中点，

∴∠BAN=∠DAM，

∵∠BAE=2∠DAM，

∴∠BAN=∠EAN，

∴AN既是△AEF的角平分线也是中线，

∴AE=AF，

∵AF=AB+BF，

∴AE=BC+CE．