Question

如图1所示，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF，AB=AC，∠BAC=90°．

（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．

（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．

Answer

（1）CF=BD，且CF⊥BD，证明见解析；（2）（1）的结论仍然成立，理由见解析.

【解析】

（1）根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD；

（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；

【解析】
（1）CF=BD，且CF⊥BD，证明如下：

∵∠FAD=∠CAB=90°，

∴∠FAC=∠DAB．

在△ACF和△ABD中，

，

∴△ACF≌△ABD

∴CF=BD，∠FCA=∠DBA，

∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°，

∴FC⊥CB，

故CF=BD，且CF⊥BD．

（2）（1）的结论仍然成立，如图2，

∵∠CAB=∠DAF=90°，

∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

即∠CAF=∠BAD，

在△ACF和△ABD中，

，

∴△ACF≌△ABD，

∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，

∴CF⊥BD；

∴CF=BD，且CF⊥BD．