Question

已知关于x的方程x²－(2k－1)x＋k²－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．

(1)求实数k的取值范围．

(2)设方程的两个实数根分别为x₁，x₂，是否存在这样的实数k，使得|x₁|－|x₂|＝成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） k＞；（2）4．

【解析】

（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；

（2）由韦达定理知x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+2=（k﹣1）2+1＞0，可以判断出x1＞0，x2＞0．将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．

（1）由题意知△＞0，∴[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣2k+2）＞0，整理得：4k﹣7＞0，解得：k；

（2）由题意知x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+2=（k+1）2+1＞0，∴x1，x2同号．

∵x1+x2=2k﹣1＞=，∴x1＞0，x2＞0．

∵|x1|﹣|x2|，∴x1﹣x2，∴x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+2）=5，整理，得：4k﹣12=0，解得：k=3．