Question

如图，AB是⊙O的弦，AD是⊙O的直径，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为，OP＝1，求∠BCP的度数．

Answer

（1）见解析；（2）∠BCP＝60°

【解析】

（1）连接OB，如图，利用CP=CB得到∠1=∠2，再证明∠2=∠3，再根据垂直的定义得到∠3+∠A=90°，则可得到∠2+∠OBA=90°，然后根据切线的判定定理可得到结论；

（2）在Rt△OAP中利用三角函数得到∠3=60°，则∠2=60°，然后根据三角形内角和得到∠BCP的度数．

（1）连接OB，如图，∵CP=CB，∴∠1=∠2，而∠1=∠3，∴∠2=∠3．

∵CO⊥AD，∴∠3+∠A=90°，而OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠2+∠OBA=90°，即∠OBC=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；

（2）在Rt△OAP中，∵OP=1，OA，∴tan∠3，∴∠3=60°，∴∠2=60°，∴∠1=60°，∴∠BCP=60°．