Question

如图，已知抛物线y=x²+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x﹣8；（2）F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）；（3）见解析.

【解析】试题（1）利用待定系数法求出B、C两点坐标即可解决问题；

（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m， m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），构建二次函数，利用二次函数的性质求出点F坐标，因为点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，求出直线AF的解析式即可解决问题；

（3）如图2中，分三种情形讨论：①当FQ1=FB时，Q1（0，0）．②当BF=BQ时，易知Q2（0，﹣ ），Q3（0， ）．③当Q4B=Q4F时，设Q（0，m），构建方程即可解决问题；

试题解析：解：（1）对于抛物线y=x2+3x﹣8，令y=0，得到： x2+3x﹣8=0，解得：x=﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x=0，得到：y=﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），设直线BC的解析式为y=kx+b，则有： ，解得： ，∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣8．

（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m， m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）

∴S△FBC=S△FNB+S△FNC=•FN×8=4FN=4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]=﹣2m2﹣16m=﹣2（m+4）2+32，∴当m=﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12）．∵抛物线的对称轴x=﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y=ax+b，则有： ，解得： ，∴直线AF的解析式为y=2x﹣4，∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．

（3）如图2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，0），∴BF==．分三种情况讨论：

①当FQ1=FB时，Q1（0，0）．

②当BF=BQ时，易知Q2（0，﹣ ），Q3（0， ）．

③当Q4B=Q4F时，设Q4（0，m），则有82+m2=42+（m+12）2，解得m=﹣4，∴Q4（0，﹣4）

∴Q点坐标为（0，0）或（0， ）或（0，﹣）或（0，﹣4）．