Question

如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD⊥CE 于点 D，AC 平分∠DAB．

（1）    求证：直线 CE 是⊙O 的切线；

（2）    若 AB＝10，CD＝4，求 BC 的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）BC＝2或4．

【解析】

(1)如图，连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；

(2)证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形对应边成比例进行求解即可.

(1)如图，连接OC

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠CAB，

∴∠OCA=∠DAC，

∴AD∥CO，

∵CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O直径且C在半径外端，

∴CD为⊙O的切线；

(2)∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴，

∴BC•AC=DC•AB=4×10=40，

∵BC2+AC2=100，

∴(BC+AC)2=BC2+AC2+2BC•AC=180，(BC-AC)2= BC2+AC2-2BC•AC=20，

∴BC+AC=6，AC﹣BC=2或BC﹣AC=2，

∴BC=2或4．