Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F．

（1）求证：BE＝CE；

（2）若AB＝6，求弧DE的长；

（3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析；（2）弧DE的长为π；（3）当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切．理由见解析.

【解析】

(1)连接AE，求出AE⊥BC，根据等腰三角形性质求出即可；

(2)根据圆周角定理求出∠DOE的度数，再根据弧长公式进行计算即可；

(3)当∠F的度数是36°时，可以得到∠ABF=90°，由此即可得BF与⊙O相切.

(1)连接AE，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BC，

∵AB=AC，

∴BE=CE；

(2)∵AB=AC，AE⊥BC，

∴AE平分∠BAC，

∴∠CAE=∠BAC=×54°=27°，

∴∠DOE=2∠CAE=2×27°=54°，

∴弧DE的长=；

(3)当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切，

理由如下：∵∠BAC=54°，

∴当∠F=36°时，∠ABF=90°，

∴AB⊥BF，

∴BF为⊙O的切线．