Question

如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，点F是弧AD的中点，连接OF并延长交CD于点E，连接BD，BF．

（1）求证：BD∥OE；

（2）若OE＝3，tanC＝，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）⊙O的半径的长3．

【解析】

(1)如图，由圆的半径相等可得∠1=∠3，再由圆周角定理可得∠1=∠2，从而可得∠2=∠3，继而可得结论；

(2)连接OD，如图，根据切线的性质可得OD⊥CD，根据tanC=，设OD=3k，CD=4k，继而可得BC=2k，由平行线分线段成比例定理可得 ，继而可求得DE=6k，在Rt△ODE中，利用勾股定理求出k的值即可得答案.

(1)∵OB=OF，

∴∠1=∠3，

∵点F是的中点，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴BD∥OE；

(2)连接OD，如图，

∵直线CD是⊙O的切线，

∴OD⊥CD，

在Rt△OCD中，∵tanC=，

∴设OD=3k，CD=4k．

∴OC=5k，BO=3k，

∴BC=2k．

∵BD∥OE，

∴，

即,

∴DE=6k，

在Rt△ODE中，∵OE2=OD2+DE2，

∴(3)2=(3k)2+(6k)2，

解得k=,

∴OB=3，

即⊙O的半径的长3．