Question

如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，其中，满足.

（1）求直线的解析式；

（2）在平面直角坐标系中有一点，若,则与满足的关系式是什么？

（3）已知平行于轴且位于轴左侧有一动直线，分别与，交于点,且点在点的下方，点为轴上一动点，且为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标.

Answer

(1)的解析式为;(2) m+n=3或m+n=-3;(3) (0,)，（0，），（0，）.

【解析】

(1)可得A(-1,1)B(0,3)，设的解析式为，代入A(-1,1)，可得的解析式；

（2）①当点P在的右侧时,设点P为,且B//，B的解析式为:y=-x+3,即：n=-m+3，m+n=3，②当点P在的左侧时,设点P为,，，可得B点关于O点的对称点位（0，-3）点在；上，且 //， 的解析式为:y=-x-3，即：n=-m-3，m+n=-3；

（3）设动直线为x=t,由题可得-1＜t＜0,则M（t，-t），N(t，2t+3),MN=3t+3,

当NM⊥NQ且NM=NQ时,Q(0,2t+3)，由3t+3=-t,t=-，可得Q的值，

当MN⊥MQ且NM=MQ时,Q(0,-t)，由3t+3=-t，t=-，可得Q的值，

当QN⊥QM且QN=QM时，Q(0,),可得2t+3-（）=-t，解得t=，可得Q的值.

【解析】
（1）由题可得: a=-1,b=3

则点A(-1,1)B(0,3)

设的解析式为，代入A(-1,1)得:1=-k+3,

解得：k=2，

的解析式为

(2),则点P到AO的距离与点B到AO的距离相等,且点P位于h两侧；

①当点P在的右侧时,设点P为,且B//

B的解析式为:y=-x+3,即：n=-m+3，m+n=3

②当点P在的左侧时,设点P为,，

可得B点关于O点的对称点位（0，-3）点在；上，且 //，

的解析式为:y=-x-3，即：n=-m-3，m+n=-3；

综合：m+n=3或m+n=-3;

(3)设动直线为x=t,由题可得-1＜t＜0,

则M（t，-t），N(t，2t+3),MN=3t+3,

当NM⊥NQ且NM=NQ时,Q(0,2t+3)，由3t+3=-t,t=-，此时(0,)

当MN⊥MQ且NM=MQ时,Q(0,-t)，由3t+3=-t，t=-，此时（0，）

当QN⊥QM且QN=QM时,Q(0,),可得2t+3-（）=-t，解得t=，此时（0，），

综上(0,)，（0，），（0，）.