Question

如图①，△ABC是等边三角形，D、E分别为边BC和AC上的点，且BD＝CE，过D作BE的平行线，过E作BC的平行线，它们交于点F，连接AF．

（1）求证：△ABE≌△CAD；

（2）试判断△ADF的形状，并说明理由；

（3）若将D、E分别移为边CB的延长线和AC的延长线上的点，其它条件不变（如图②），则△ADF的形状是否改变，说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）△ADF是等边三角形（3）△ADF仍是等边三角形

【解析】

（1）△ABE、△CAD中，已知的条件有：AB＝AC，∠BAE＝∠ACD＝60°；若求两个三角形全等，只需再证得AE＝CD即可，易知AC＝BC，而BD＝CE，即可得到AE＝CD，由此得证；
（2）易证得四边形BDFE是平行四边形，则BE＝DF＝AD；设AD、BE交于G，则∠ADF＝∠BGD；
而∠BGD＝∠ABE＋∠DAB，由（1）的全等三角形知：∠DAC＝∠ABE，故∠BGD＝∠DAC＋∠DAB＝60°，等量代换后，可求得∠ADF＝60°，即可得到△ADF是等边三角形的结论．
（3）与（2）的结论相同，解题思路与（1）（2）完全相同．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC；

∵BD＝CE，

∴AC﹣CE＝BC﹣BD，∴AE＝CD；

又AB＝AC，

∴△ABE≌△CAD；

（2）△ADF是等边三角形，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°；

∵DF∥BE，EF∥BC，

∴∠1＝∠2，四边形BDFE是平行四边形；

∴BE＝DF；

∵△ABE≌△CAD，∴∠4＝∠5，BE＝AD，∴DF＝AD；

∵∠1＝∠3＋∠4，∴∠2＝∠3＋∠5＝∠BAC＝60°；

∴△ADF是等边三角形；

（3）△ADF仍是等边三角形，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAE＝∠C＝60°，AB＝BC；

∴∠ABD＝∠BCD＝180°﹣120°；

∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠1＝∠3，BE＝AD；

∵DF∥BE，EF∥BC，

∴∠1＝∠2，四边形BDFE是平行四边形；

∴BE＝DF，∴DF＝AD；

∵∠3＋∠4＝∠ABC＝60°，∴∠2＋∠4＝60°即∠ADF＝60°

∴△ADF是等边三角形．