Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．

（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；

（2）求证：BG²﹣GE²=EA²．

Answer

【解析】
（1）线段BH与AC相等。证明如下：

∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，

∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，

∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，

在△DBH和△DCA中，∵∠DBH=∠DCA，BD=CD，∠BDH=∠CDA，

∴△DBH≌△DCA（ASA）。∴BH=AC。

（2）证明：连接CG，

∵F为BC的中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC。∴BG=CG。

∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB。

在△ABE和△CBE中，

∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，

∴△ABE≌△CBE（ASA）。∴EC=EA。

在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=EC2。

∴BG2﹣GE2=EA2。

【解析】

试题(1)、根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可；(2)、根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．

试题解析：(1)、BH=AC，理由如下： ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°， ∵∠ABC=45°，

∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC ∴DB=DC， ∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°， ∴∠HBD=∠ACD， ∵在△DBH和△DCA中

， ∴△DBH≌△DCA（ASA）， ∴BH=AC．

(2)、连接CG， 由(1)知，DB=CD， ∵F为BC的中点， ∴DF垂直平分BC， ∴BG=CG，

∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC， ∴EC=EA， 在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=CE2，

∵CE=AE，BG=CG， ∴BG2﹣GE2=EA2．