Question

已知：抛物线y=x²+（2m﹣1）x+m²﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．

（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；

（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．

①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；

②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

y=－3x，0＜x＜3；6；，（，－）或（，－）

【解析】

试题（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得符合条件的函数解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案；

（2）①根据BC关于对称轴对称，可得A点的纵坐标，根据矩形的周长公式，可得答案；

②分类讨论A在对称轴左侧，A在对称轴右侧，根据对称，可得BC的长，AB的长，根据周长公式，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得答案．

试题解析：（1）∵抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点（0，0），

∴m2﹣1=0，

∴m=±1

∴y=x2+x或y=x2﹣3x，

∵当x＜0时，y随x的增大而减小，

∴y=x2﹣3x，由函数与不等式的关系，得y＜0时，0＜x＜3；

（2）①如图1，

当BC=1时，由抛物线的对称性，得点A的纵坐标为﹣2，

∴矩形的周长为6；

②∵A的坐标为（a，b），

∴当点A在对称轴左侧时，如图2，

矩形ABCD的一边BC=3﹣2a，另一边AB=3a﹣a2，

周长L=﹣2a2+2a+6．其中0＜a＜，当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣），

当点A在对称轴右侧时如图3，

矩形的一边BC=3﹣（6﹣2a）=2a﹣3，另一边AB=3a﹣a2，

周长L=﹣2a2+10a﹣6，其中＜a＜3，当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣）；

综上所述：当0＜a＜时，L=﹣2（a﹣）2+，

∴当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣），

当＜a＜3时，L=﹣2（a﹣）2+，

∴当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣）．