Question

（背景知识）

数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现有许多重要的规律:

例如，若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．

（问题情境）

在数轴上，点表示的数为-20，点表示的数为10，动点从点出发沿数轴正方向运动，同时，动点也从点出发沿数轴负方向运动，已知运动到4秒钟时，、两点相遇，且动点、运动的速度之比是（速度单位:单位长度/秒）．

备用图

（综合运用）

（1）点的运动速度为______单位长度/秒，点的运动速度为______单位长度/秒；

（2）当时，求运动时间；

（3）若点、在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动，但运动的方向不限，我们发现:随着动点、的运动，线段的中点也随着运动．问点能否与原点重合？若能，求出从、相遇起经过的运动时间，并直接写出点的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．

Answer

（1）动点P运动的速度为4.5单位长度/秒，动点Q运动的速度为3单位长度/秒；（2）运动时间为或秒；（3）点M能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为或沿数轴正方向运动，运动速度为，理由见解析

【解析】

（1）设动点P运动的速度分别为3x单位长度/秒，Q运动的速度分别为2x单位长度/秒．根据“运动到4秒钟时，P、Q两点相遇”列方程，求解即可；

（2）设运动时间为t秒．点P表示的数为－20＋4.5t，点Q表示的数为10－3t，根据“PQ=AB”，列方程，求解即可；

（3）先求出P、Q相遇点表示的数，设从P、Q相遇起经过的运动时间为t秒时，PQ的中点M与原点重合，求出P、Q此时表示的数．然后分四种情况列方程，求解即可．

（1）设动点P运动的速度分别为3x单位长度/秒，Q运动的速度分别为2x单位长度/秒．根据题意得：

4×3x＋4×2x=30，（或－20＋4×3x=10－4×2x）

解得：x=1.5．

3x=4.5（单位长度/秒），2x=3（单位长度/秒）．

答：动点P运动的速度为4.5单位长度/秒，动点Q运动的速度为3单位长度/秒．

（2）设运动时间为t秒．

由题意知：点P表示的数为－20＋4.5t，点Q表示的数为10－3t，根据题意得：

|（－20＋4.5t）－（10－3t）|=×|（－20）－10|

整理得：|7.5t－30|=10

7．5t－30=10或7.5t－30=－10

解得：t=或t=．

答：运动时间为或秒．

（3）P、Q相遇点表示的数为－20＋4×4.5=－2（注：当P、Q两点重合时，线段PQ的中点M也与P、Q两点重合）

设从P、Q相遇起经过的运动时间为t秒时，点M与原点重合．

①点P、Q均沿数轴正方向运动，则：

解得：t=．

此时点M能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为2÷（单位长度/秒）；

②点P沿数轴正方向运动，点Q沿数轴负方向运动，则：

解得：t=．

此时点M能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为2÷=（单位长度/秒）；

③点P沿数轴负方向运动，点Q沿数轴正方向运动，则：

解得：t=－（舍去）．

此时点M不能与原点重合；

④点P沿数轴负方向运动，点Q沿数轴负方向运动，则：

解得：t=－（舍去）．

此时点M不能与原点重合．

综上所述：点M能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为或沿数轴正方向运动，运动速度为．