Question

（问题情境）如图，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；

（结论运用）如图，正方形的边长为，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接， 

（1）试利用射影定理证明；

（2）若，求的长．

Answer

【问题情境】证明见解析；【结论运用】证明见解析；（2）．

【解析】

通过证明Rt△ACD∽Rt△ABC得到AC：AB=AD：AC，然后利用比例性质即可得到AC2=AD•AB；

【结论运用】

（1）根据射影定理得BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，则BO•BD=BF•BE，即=，加上∠OBF=∠EBD，于是可根据相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；

（2）先计算出DE=4，CE=2，BE=2，OB=3，再利用（1）中结论△BOF∽△BED得到=，即=，然后利用比例性质求OF．

如图1．

∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，而∠CAD=∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AD•AB；

（1）如图2．

∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90°，∴BC2=BO•BD．

∵CF⊥BE，∴BC2=BF•BE，∴BO•BD=BF•BE，即=，而∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED；

（2）∵BC=CD=6，而DE=CE，∴DE=4，CE=2．

在Rt△BCE中，BE==2．在Rt△OBC中，OB=BC=3．

∵△BOF∽△BED，∴=，即=，∴OF=．