Question

如图，在中，，，，动点（与点，不重合）在边上，交于点．

当的面积与四边形的面积相等时，求的长；

当的周长与四边形的周长相等时，求的长；

试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长．

Answer

（1）；（2）；（3）或．

【解析】

【解析】
∵的面积与四边形的面积相等

∴

又∵∴

∵，

∴；

设的长为

∵

∴

∴

由的周长与四边形的周长相等，

得

解得

∴的长为；（3）为等腰直角三角形，有两种情况：

①如图，假设，

由，，，得

∴斜边上高

设，由，得：

即

解得，即

当´，时，同理可得；

②如图，假设，时，点到的距离为

设，由，得：

，即

解得，即

综上所述，在上存在点，使为等腰直角三角形，此时或．