Question

如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD，AE．

（1）求证：∠C=∠BED；

（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；

（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据切线性质、垂直的性质、直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠C+∠AOC=∠AOC+∠BAD=90°，即∠C=∠BAD；然后由圆周角定理推知∠BED=∠BAD；最后由等量代换证得∠C=∠BED；

（2）根据锐角三角函数的定义求AC的长；

（3）根据已知条件推知AE=BD=DE，然后由圆的弧、弦、圆心角间的关系知，从而求得∠BAD=30°；然后由直径AB所对的圆周角∠ADB=90°可以求得直角三角形ABD中30°所对的直角边是斜边的一半BDAB=5，DE=5；最后（过点D作DH⊥AB于H）在直角三角形HDA中求得高线DH的长度，从而求得梯形ABDE的面积．

（1）∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC=90°；

又∵OC⊥AD，∴∠OFA=90°，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD．

又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED．

（2）由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD，∴tan∠C．

在Rt△OAC中，tan∠C，且OAAB=5，∴，解得：．

（3）∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED．

又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，∴AE=BD，∴AE=BD=DE，∴，∴∠BAD=30°．

又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BDAB=5，DE=5．在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD，过点D作DH⊥AB于H．

∵∠HAD=30°，∴DHAD，∴四边形AEDB的面积．