Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，m），C（1，0）．

（1）求m值；

（2）设点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）．

①过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

②连接AP，并以AP为边作等腰直角△APQ，当顶点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，求出对应的点P坐标．

Answer

（1）m的值为3；（2）①点P坐标为（﹣，）；②点P的坐标为（）、（﹣1﹣，2）、（﹣2，3）

【解析】

（1）只需把点A、C的坐标代入y=﹣x2+bx+c，就可求出抛物线的解析式，就可求出m的值．

（2）①易得△PDE是等腰直角三角形，PE最大时△PDE的周长就最大．用待定系数法求出直线AB的解析式，设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a，则点P、E的纵坐标就可用a的代数式表示，PE的长度也就可以用a的代数式表示，然后运用二次函数的最值性就可求出PE最大（即△PDE的周长最大）时，点P的坐标．

②等腰直角△APQ的三边都可能是底边，故分三种情况进行讨论，然后构造全等三角形，得到相等线段，然后用一个字母表示一条线段，从而将点P的坐标用该字母表示，然后代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标．

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（1，0），∴．

解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．

∵点B（0，m）在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴m=3，∴m的值为3．

（2）①如图1．

∵OA=OB=3，∠AOB=90°，∴∠AB0=45°．

∵PF⊥OA，PD⊥AB，∴∠PDA=∠EFA=90°=∠AOB，∴EF∥OB，∴∠PED=∠ABO=45°，∴PD=PE•sin45°PE，DE=PE•cos45°PE，∴△PDE的周长为（1）PE．

设直线AB的解析式为y=mx+n，则有．

解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3．

设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a，∴yP=﹣a2﹣2a+3，yE=a+3，∴PE=yP﹣yE=（﹣a2﹣2a+3）﹣（a+3）=﹣a2﹣3a=﹣（a）2．

∵﹣1＜0，∴当a时，PE取到最大值，△PDE的周长也就取到最大值．

此时yP=﹣（）2﹣2×（）+3，∴当点P坐标为（）时，△PDE的周长取到最大值．

②Ⅰ．若AQ为等腰直角△APQ的底边，如图2，则有AP=PQ，∠APQ=90°．

过点P作PG⊥OA，垂足为G，过点P作PT⊥QH，垂足为T．

∵∠PGH=∠GHT=PTH=90°，∴四边形PGHT是矩形，∴∠GPT=90°，PT=GH，PG=HT，∴∠APG=90°﹣∠GPQ=∠TPQ．

在△AGP和△QTP中，，∴△AGP≌△QTP，∴AG=TQ，PG=PT，∴PG=GH．

∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为x1，∴OH=1．

设PG=t（t＞0），则OG=GH+OH=PG+OH=t+1．

∵点P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣t﹣1，t）．

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴t=﹣（﹣t﹣1）2﹣2（﹣t﹣1）+3．

整理得：t2+t﹣4=0．

解得：t1（舍去），t2，∴点P的坐标为（）．

Ⅱ．若PQ为等腰直角△APQ的底边，如图3，则有AP=AQ，∠PAQ=90°．

过点P作PG⊥OA，垂足为G，则有∠APG=90°﹣∠PAG=∠HAQ．

在△AGP和△QHA中，，∴△AGP≌△QHA，∴PG=AH．

∵AH=AO﹣OH=3﹣1=2，∴PG=2，∴yP=2．

解﹣x2﹣2x+3=2得：x1=﹣1，x2=﹣1．

∵点P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣1，2）．

Ⅲ．若AP为等腰直角△APQ的底边，如图4，则有AQ=PQ，∠AQP=90°．

过点P作PT⊥QH，垂足为T，则有∠AQH=90°﹣∠PQT=∠TPQ．

在△AHQ和△QTP中，∵∠AQH=∠TPQ，∠AHQ=∠QTP，QA=QP，∴△AHQ≌△QTP，∴AH=QT，QH=PT．

∵AH=2，∴QT=2．

设QH=PT=p（p＞0），则TH=p+2．

∵点P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣p﹣1，p+2）．

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴p+2=﹣（﹣p﹣1）2﹣2×（﹣p﹣1）+3．

整理得：p2+p﹣2=0．

解得：p1=﹣2（舍去），p2=1，∴点P的坐标为（﹣2，3）．

综上所述：点P的坐标为（）、（﹣1，2）、（﹣2，3）．