Question

如图，在直角坐标系中，△ABC满足∠BCA＝90°，AC＝BC＝，点A、C分别在x轴和y轴上，当点A从原点开始沿x轴的正方向运动时，则点C始终在y轴上运动，点B始终在第一象限运动．

（1）当AB∥y轴时，求B点坐标．

（2）随着A、C的运动，当点B落在直线y＝3x上时，求此时A点的坐标．

（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是4？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）点B坐标为（，）（2）点A（2，0）；（3）存在点D，点D坐标为（0，﹣1）或（0，2）.

【解析】

（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据勾股定理，可得AO的长，可得B点坐标；

（2）根据全等三角形的判定与性质，可得BE＝OC＝x，EC＝OA＝x，根据勾股定理，可得x的长，可得A点坐标；

（3）分类讨论：①D在y轴的正半轴上；②D在y轴的负半轴上，根据面积的和差，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．

（1）∵∠BCA＝90°，AC＝BC＝，

∴∠BAC＝45°，AB＝＝

∵AB∥y轴，

∴∠BAO＝90°＝∠COA

∴∠CAO＝45°＝∠OCA

∴CO＝AO

∵AO2+CO2＝AC2，

∴2AO2＝5

∴AO＝

∴点B坐标为（，）

（2）如图，过点B，作BE⊥y轴，垂足为点E，

∵∠BCE+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°

∴∠BCE＝∠CAO，且AC＝BC，∠BEO＝∠AOC

∴△AOC≌△CEB（AAS）

∴BE＝CO，AO＝CE

∵点B落在直线y＝3x上

∴设B（x，3x）

∴BE＝x＝OC，OE＝3x，

∴CE＝OA＝2x，

∵OA2+OC2＝AC2

∴（2x）2+x2＝5

∴x＝1

∴OA＝2x＝2

∴点A（2，0）

（3）设点D（0，y）

当点D在y轴正半轴上，如图，连接OB，

∵S四边形ABDO＝S△AOB+S△BDO＝4

∴×y×1+×2×3＝4

∴y＝2

∴点D（0，2）

若点D在y轴负半轴上，如图，连接OB，

∵S四边形ABDO＝S△AOB+S△ADO＝4

∴×2×3+×2×（﹣y）＝4

∴y＝﹣1

∴点D坐标为（0，﹣1）.

∴存在点D，点D坐标为（0，2）或（0，﹣1）.