Question

如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；

（2）求证：∠DHF=∠DEF．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可.

（2）根据平行四边形的对角线相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．

试题解析：证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线.

∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形.

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC.

∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF.

∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA.

∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，

∴∠DHF=∠BAC.∴∠DHF=∠DEF．