Question

如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.

(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．

(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．

(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．

Answer

（1）12；96 （2）答案见解析 （3）答案见解析

【解析】

（1）根据菱形的对角线互相垂直平分求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后根据AC=2AG计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；

（2）连接AO，根据S△ABD=S△ABO+S△ADO列式计算即可得解；

（3）连接AO，根据S△ABD=S△ABO-S△ADO列式整理即可得解.

【解析】
(1)在菱形ABCD中，AG＝CG，AC⊥BD，BG＝BD＝×16＝8，

由勾股定理得AG＝，

所以AC＝2AG＝2×6＝12.

所以菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×12×16＝96.

(2)不发生变化．理由如下：如图①，连接AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，

所以BD·AG＝AB·OE＋AD·OF，

即×16×6＝×10·OE＋×10·OF.

解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．

(3)发生变化．如图②，连接AO，则S△ABD＝S△ABO－S△AOD，

所以BD·AG＝AB·OE－AD·OF.

即×16×6＝×10·OE－×10·OF.

解得OE－OF＝9.6，是定值，不变．

所以OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.