Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．

(1)求证：四边形DEFG是矩形；

(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．

Answer

（1）证明见解析 （2）21

【解析】

（1）连接AO并延长交BC于H，首先四边形DEFG是平行四边形，然后证得EF⊥DE，从而证得平行四边形DEFG是矩形；

（2）根据△BOC是等腰直角三角形，求得BC和AH的长，利用三角形的面积计算公式求其面积即可．

(1)证明：如图，连接AO并延长交BC于H，

∵AB＝AC，OB＝OC，

∴AH是BC的中垂线，即AH⊥BC.

∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，

(第14题)

∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.

∴四边形DEFG是平行四边形．

∵EF∥BC，

AH⊥BC，

∴AH⊥EF.

又∵DE∥AH，

∴EF⊥DE，

∴四边形DEFG是矩形．

(2)【解析】
∵D，E，F分别是AB，OB，OC的中点，

∴AO＝2DE＝4，BC＝2EF＝6.

∵△BOC是等腰直角三角形，

∴OH＝BC＝3.

∴AH＝OA＋OH＝4＋3＝7.

∴S△ABC＝×6×7＝21.