Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，经过点A作AE⊥OC，垂足为点D，AE与BC交于点F，与过点B的直线交于点E，且EB＝EF．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）若CD＝1，cos∠AEB＝，求BE的长．

Answer

（1）见解析；（2）BE＝

【解析】

（1）由OB＝OC可得∠OBC＝∠OCB，由EB＝EF可知∠EBC＝∠EFB，根据∠AFC+∠OCB＝90°可知∠EBC+∠OBC＝90°，即可得结论；

（2）由（1）可知∠AEB+∠EAB＝90°，由∠AOD+∠EAB＝90°即可证明∠AOD＝∠AEB，设⊙O的半径为r，根据cos∠AOD＝cos∠AEB＝可求出r的值，即可得AB的值，根据cos∠AEB＝＝可得AE＝BE，利用勾股定理求出BE的长即可.

（1）∵B、C在⊙O上，

∴OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵EF＝EB，

∴∠EBC＝∠EFB，

又∵∠AFC＝∠EFB，

∴∠AFC＝∠EBC，

∵AE⊥OC，

∴∠AFC+∠OCB＝90°，

∴∠EBC+∠OBC＝90°，即BE⊥OB，

又OB是⊙O的半径，

∴EB是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，

又CD＝1，

∴OD＝r﹣1，

∵∠AOD+∠EAB＝90°，∠AEB+∠EAB＝90°，

∴∠AOD＝∠AEB，

∴cos∠AOD＝cos∠AEB＝，

∴在Rt△AOD中，cos∠AOD＝＝，即＝，

解得：r＝，

∵AB是⊙O的直径，

∴AB＝5，

在Rt△AEB中，cos∠AEB＝＝，

∴AE＝BE，

又AE2＝AB2+BE2，即（BE）2＝BE2+52，

解得：BE＝．