Question

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD＝∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB＝弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，sin∠D＝，求线段AF的长．

Answer

(1)见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OC，BC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到OD=5，AD=8．根据弧CB＝弧CE得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：连接OC，BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，即∠1+∠3＝90°．

∵OA＝OC，

∴∠1＝∠2．

∵∠DCB＝∠BAC＝∠1．

∴∠DCB+∠3＝90°．

∴OC⊥DF．

∴DF是⊙O的切线；

（2）【解析】
在Rt△OCD中，OC＝3，sinD＝．

∴OD＝5，AD＝8．

∵弧CB＝弧CE，

∴∠2＝∠4．

∴∠1＝∠4．

∴OC∥AF．

∴△DOC∽△DAF．

∴=．

∴AF＝．