Question

如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．

探究：试判断BE和CN的位置关系和数量关系，并说明理由．

应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ=　   　．

Answer

（1）证明见解析；（2）PQ=3

【解析】

试题根据正方形性质得出AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，求出∠NAC=∠BAE，证出△ANC≌△ABE即可．

试题解析：解：CN=BE，BE⊥NC．理由如下：

∵四边形ANMB和四边形ACDE都是正方形，∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，∴∠NAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠NAC=∠BAE．

在△ANC和△ABE中，∵，∴△ANC≌△ABE（SAS），∴CN=BE．

设CN交AB于H，交BE于P．∵△ANC≌△ABE，∴∠ABE=∠ANC．∵∠PHB=∠AHN，∴∠HPB=∠HAP=90°，∴BE⊥NC．∵四边形NABM是正方形，∴∠NAB=90°，∴∠ANC+∠AON=90°．∵∠BHP=∠AHN，∠ANC=∠ABE，∴∠ABP+∠BHP=90°，∴∠BPC=∠ABP+∠BHP=90°．∵Q为BC中点，BC=6，∴PQ=BC=3．故答案为：3．