Question

如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．

Answer

见解析.

【解析】

先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形．

证明：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，

∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，

根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC

∴四边形EFGH是平行四边形

又∵AC⊥BD，

∴EF⊥FG

∴四边形EFGH是矩形．