Question

小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．

（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是              ；

如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是             ；

如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是                ；

（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明.

Answer

（1）BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；（2）证明见解析．

【解析】

试题（1）平行；垂直；垂直； 3分

（2）选① 证明BD∥MF

理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，

∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°， 1分

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，

∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°， 2分

又∵∠AFM+∠AMF=90°，

∴∠ABD=∠AFM， 3分

∴BD∥MF． 4分

选② 证明BD⊥MF．

理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，

∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，

∴∠ABC=∠AME， 1分

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠ABD=∠AMF， 2分

∵∠ABD+∠ADB=90°，

∴∠AMF+∠ADB=90°， 3分

∴BD⊥MF． 4分

选③ 证明BD⊥MF．

理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，

∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠AME， 1分

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠ABD=∠AMF， 2分

∵∠AMF+∠F=90°，

∴∠ABD+∠F=90°， 3分

∴BD⊥MF． 4分