Question

M是正方形ABCD的边AB上一动点（不与A，B重合），BP⊥MC，垂足为P，将∠CPB绕点P旋转，得到∠C’PB’，当射线PC’经过点D时，射线PB’与BC交于点N．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：△BPN∽△CPD；

（3）在点M的运动过程中，图中是否存在与BM始终保持相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）BM=BN．

【解析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）由旋转性质知∠BPN=∠CPD，再由∠PCD+∠BCP=∠PBN+∠BCP=90°知∠PCD=∠PBN，从而得证；

（3）先证△MPB∽△BPC得，再由△PBN∽△PCD知，从而得，根据BC=CD可得答案．

（1）补全图形如图所示；

（2）证明：由旋转可得∠BPN=∠CPD．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°．

∴∠PCD+∠BCP=90°．

∵BP⊥MC，

∴∠CPB=90°．

∴∠PBC+∠PCB=90°．

∴∠PBC=∠PCD．

∴△PBN∽△PCD．

（3）答：BM=BN．

证明：∵BP⊥CM，∠MBC=90°，

∴∠MBP=∠MCB．

∴△MPB∽△BPC．

∴．

由（2）可知△PBN∽△PCD．

∴．

∴．

∵BC=CD，

∴BM=BN．