Question

在△OAB中，OA＝OB，OA⊥OB．在△OCD中，OC＝OD，OC⊥OD．

（1）如图1，若A，O，D三点在同一条直线上，求证：S_△AOC＝S_△BOD；

（2）如图2，若A，O，D三点不在同一条直线上，△OAB和△OCD不重叠．则S_△AOC＝S_△BOD是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，也请说明理由．

（3）若A，O，D三点不在同一条直线上，△OAB和△OCD有部分重叠，经过画图猜想，请直接写出 S_△AOC和S_△BOD的大小关系．

Answer

（1）答案见解析；（2）S△AOC＝S△BOD仍成立；（3）S△AOC＝S△BOD．

【解析】

试题（1）由OA＝OB，OC＝OD，再结合三角形面积公式即可得到结论；

（2）作DE⊥OB于E，作CF⊥OA交AO的延长线于F．通过证明

△OED≌△OFC，得到DE＝CF，再由三角形面积公式即可得到结论；

（3）类似（2）可得结论．

试题解析：【解析】
（1）∵A，O，D三点在一条直线上，OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠BOD＝∠AOC＝90°，∴S△AOC＝•OA•OC，S△BOD＝•OB•OD．

∵OA＝OB，OC＝OD，∴S△AOC＝S△BOD．

（2）S△AOC＝S△BOD仍成立．证明如下：

作DE⊥OB于E，作CF⊥OA交AO的延长线于F．

∵∠BOF＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COF．

在△OED和△OFC中，，

∴△OED≌△OFC（AAS），∴DE＝CF，∴S△AOC＝•OA•CF，S△BOD＝•OB•DE，

∴S△AOC＝S△BOD．

（3）S△AOC＝S△BOD．