Question

在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．

（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？

（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝4，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）

Answer

（1）CF与BD位置关系是垂直,理由见解析；（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立，理由见解析；（3）见解析

【解析】

（1）由∠ACB=45°，AB=AC，得∠ABD=∠ACB=45°；可得∠BAC=90°，由正方形ADEF，可得∠DAF=90°，AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF；∠BAC=∠BAD+∠DAC；得∠CAF=∠BAD．可证△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF=∠ABD=45°，得∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC=AG，易证：△GAD≌△CAF，所以∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=4 ，BC=3，CD=x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，已知∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．即DQ=4-x，易证△AQD∽△DCP，再根据相似三角形的性质求解问题．②点D在线段BC延长线上运动时，由∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4，则DQ=4+x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得再根据相似三角形的性质求解问题．

（1）CF与BD位置关系是垂直；

证明如下：

∵AB=AC，∠ACB=45°，

∴∠ABC=45°．

由正方形ADEF得AD=AF，

∵∠DAF=∠BAC=90°，

∴∠DAB=∠FAC，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴∠ACF=∠ABD．

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．

即CF⊥BD．

（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．

理由是：

过点A作GA⊥AC交BC于点G，

∵∠ACB=45°，

∴∠AGD=45°，

∴AC=AG，

同理可证：△GAD≌△CAF

∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即CF⊥BD．

（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，

①点D在线段BC上运动时，

∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．

∴DQ=4﹣x，△AQD∽△DCP，

∴，

∴，

∴．

②点D在线段BC延长线上运动时，

∵∠BCA=45°，

∴AQ=CQ=4，

∴DQ=4+x．

过A作AQ⊥BC，

∴∠Q=∠FAD=90°，

∵∠C′AF=∠C′CD=90°，∠AC′F=∠CC′D，

∴∠ADQ=∠AFC′，

则△AQD∽△AC′F．

∴CF⊥BD，

∴△AQD∽△DCP，

∴，

∴，

∴．