Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF.

(1)求证：AD⊥CF；

(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

Answer

(1)证明见解析(2)△ACF是等腰三角形

【解析】

试题

（1）由已知条件证：∠BDE=∠BFE=45°，从而可得：BF=BD，结合点D是CB的中点，可得BF=BD=CD；然后结合已知条件证：△ACD≌△CBF，从而可得：∠CAD=∠BCF，结合∠CAD+∠CDA=90，可得∠BCF+∠CDA=90，这样就可得：∠AGC=90，从而可得：AD⊥CF；

（2）由（1）中BF=BD结合DE⊥AB可证：AB垂直平分DF，由此可得：AD=AF；由△ACD≌△CBF可得：AD=CF；两者结合可得：AF=CF，因此△ACF是等腰三角形.

试题解析：

(1)∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90 ，

∴∠CBA=45，AC=BC .

又∵BF//AC, ∠ACB=90,

∴∠FBC=90 ，

∴∠FBE=45.

又∵DE⊥AB，

∴∠BFE=45°，∠BDE=45°，

∴∠BFE=∠BDE，

∴BF=BD ，

∵D为BC的中点，

∴BD=CD,

∴ BF=CD.

在△ACD和△CBF中，,

∴ △ACD≌△CBF，

∴∠CAD=∠BCF，

又∵ ∠CAD+∠CDA=90，

∴∠BCF+∠CDA=90，

∴∠AGC=90，即AD⊥CF .

(2)△ACF是等腰三角形，理由如下：

由（1）可知：△ACD≌△CBF；BD=BF，DEAB，

∴CF=AD；DE=FE，

∴AB垂直平分DF，

∴AD=AF，

∴AF=CF ,

∴△ACF是等腰三角形．