Question

勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜的发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

(1) 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a²＋b²＝c².

 

(2) 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.

 

 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.

 求证：a²＋b²＝c².

Answer

(1)证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式．具体:(1) 连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a,表示出S四边形ADCB, 两者相等，整理即可得证; (2)证法(一) 首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证;  证法二：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证.

(1)证明:连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a.

∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，

又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，

∴b2＋ab＝c2＋a(b－a).

∴a2＋b2＝c2.

(2)证法一：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a.

∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△AED＝ab＋b2＋ab，

 又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，

∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)，

 ∴a2＋b2＝c2.

 证法二：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a，

 ∵S五边形ACBED＝S梯形ACBE＋S△AED＝b(a＋b)＋ab，

又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BED＝ab＋c2＋a(b－a)，

∴b(a＋b)＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)，

 ∴a2＋b2＝c2.