Question

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.

(1)求证:AE=2CE;

(2)连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.

Answer

见解析

【解析】

（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，利用等边对等角的性质可得∠ABE=∠A；结合三角形外角的性质可得∠BEC的度数，再在Rt△BCE中结合含30°角的直角三角形的性质，即可证明第（1）问的结论；

（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD，再利用直角三角形锐角互余的性质可得到∠ABC=60°，至此不难判断△BCD的形状

(1)证明：连结BE，如图．

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

∴∠ABE＝∠A＝30°，

∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，

在Rt△BCE中，BE＝2CE，

∴AE＝2CE.

(2)【解析】
△BCD是等边三角形．

理由如下：

∵DE垂直平分AB，

∴D为AB的中点．

∵∠ACB＝90°，

∴CD＝BD.

又∵∠ABC＝60°，

∴△BCD是等边三角形．