Question

已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE²－EA²＝AC²，

(1)求证：∠A＝90°.

(2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长．

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可得BE=CE，再结合条件可求得EA2+AC2=CE2，可证得结论；
（2）在Rt△BDE中可求得BE，即求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．

(1)证明

连接CE，如图，

∵D是BC的中点，DE⊥BC，

∴CE＝BE

∵BE2－EA2＝AC2，

∴CE2－EA2＝AC2，

∴EA2＋AC2＝CE2，

∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；

(2)解 ∵DE＝3，BD＝4，

∴BE＝＝5＝CE，

∴AC2＝EC2－AE2＝25－EA2，

∵BC＝2BD＝8，

∴在Rt△BAC中，由勾股定理可得：BC2－BA2＝64－(5＋EA)2＝AC2，

∴64－(5＋AE)2＝25－EA2，解得AE＝.

故答案为：(1)证明见解析；(2).