Question

如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与△ABC 的外接圆⊙O 交于点 D．

（1）求证：DB=DC；

（2）若∠CAB=30°，BC=4，求劣弧 CD 的长度．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由DA平分∠EAC可得∠EAD=∠DAC，可证的∠EAD=∠DCB，∠DCB=∠DBC

可得DC=BC；

(2) 可证△COB为等边三角形，可得OC=BC=4，∠DBC=∠DCB，∠DCB=∠DBC=75°可得∠DOC的度数，可得劣弧 CD 的长度.

（1）∵DA平分∠EAC，

∴∠EAD=∠DAC

∵∠EAD+∠DAB=180°

∠DAB+∠DCB=180°

∴∠EAD=∠DCB

又∵∠DAC=∠DBC

∠DCB=∠DBC

∴DC=BC

（2）∠CDB=∠CAB=30°

∠COB=2∠CDB=60°

∴△COB为等边三角形

∴OC=BC=4

∵DC=DB

∴∠DBC=∠DCB

又∵∠DBC+∠DCB+∠CDB=180°

∴∠DCB=∠DBC=75°

∴∠DOC=2∠DBC=150°