Question

在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²﹣2x+c（c为常数）的对称轴如图所示，且抛物线过点C（0，c）．

（1）当c＝﹣3时，点（x₁，y₁）在抛物线y＝x²﹣2x+c上，求y₁的最小值；

（2）若抛物线与x轴有两个交点，自左向右分别为点A、B，且OA＝OB，求抛物线的解析式；

（3）当﹣1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围．

Answer

（1）-4（2）y＝x2﹣2x+或y＝x2﹣2x﹣8（3）当﹣3＜c＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点

【解析】

（1）根据二次函数的性质，求出顶点的纵坐标即可解决问题；

（2）分两种情形①当点A、B都在原点的右侧时，如解图1，②当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时，如解图2，分别求解即可；

（3）把问题转化为不等式即可解决问题；

（1）当c＝﹣3时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，

∴抛物线开口向上，有最小值，

∴y最小值＝ ＝﹣4，

∴y1的最小值为﹣4；

（2）抛物线与x轴有两个交点，

①当点A、B都在原点的右侧时，如解图1，

设A（m，0），

∵OA＝OB，

∴B（2m，0），

∵二次函数y＝x2﹣2x+c的对称轴为x＝1，

由抛物线的对称性得1﹣m＝2m﹣1，解得m＝，

∴A（，0），

∵点A在抛物线y＝x2﹣2x+c上，

∴0＝﹣+c，解得c＝，

此时抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+；

②当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时，如解图2，

设A（﹣n，0），

∵OA＝OB，且点A、B在原点的两侧，

∴B（2n，0），

由抛物线的对称性得n+1＝2n﹣1，

解得n＝2，

∴A（﹣2，0），

∵点A在抛物线y＝x2﹣2x+c上，

∴0＝4+4+c，解得c＝﹣8，

此时抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8，

综上，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+或y＝x2﹣2x﹣8；

（3）∵抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴有公共点，

∴对于方程x2﹣2x+c＝0，判别式b2﹣4ac＝4﹣4c≥0，

∴c≤1．

当x＝﹣1时，y＝3+c；当x＝0时，y＝c，

∵抛物线的对称轴为x＝1，且当﹣1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，

∴3+c＞0且c＜0，解得﹣3＜c＜0，

综上，当﹣3＜c＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点．