Question

已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图①，AB是直径，要使EF是⊙O的切线，还须添加一个条件是（只需写出三种情况）．

（ī）　   　（īī）　   　（īīī）　   　

（2）如图（2），若AB为非直径的弦，∠CAE＝∠B，则EF是⊙O的切线吗？为什么？

Answer

（1）AB⊥EF ∠BAE=90° ∠ABC=∠EAC（2）详见解析

【解析】

（1）根据切线的判断由或可判断为的切线；当，根据圆周角定理得，所以，即，于是也可判断为的切线；

（2）作直径，连结，由为直径得，则，根据圆周角定理得，而，所以，则，根据切线的判定定理得到为的切线.

（1）当 AB⊥EF 或∠BAE=90°可判断 EF 为⊙O 的切线；

当∠ABC=∠EAC，∵AB 为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∴∠EAC+∠CAB=90°，

∴AB⊥EF，

∴EF 为⊙O 的切线；

故答案为 AB⊥EF、∠BAE=90°、∠ABC=∠EAC；

（2）证明：作直径 AD，连结 CD，

∵AD 为直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠D+∠CAD=90°，

，，

∴，

∴，

∴，

∴EF 为⊙O 的切线.