Question

已知，抛物线y＝mx²+（1﹣2m）x+1﹣3m（m是常数）．

（Ⅰ）当m＝1时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标；

（Ⅱ）抛物线与x轴相交于不同的两点A，B．

①求m的取值范围；

②无论m取何值，该抛物线都经过非坐标轴上的定点P，当＜m≤8时，求△PAB面积的最大值，并求出相对应的m的值．

Answer

（1）（﹣1，0）或（2，0）；（2）①m≠0且m≠；②

【解析】

（1）把m＝1，y＝0代入抛物线可得x2﹣x﹣2＝0，然后解这个一元二次方程即可；

（2）①根据题意得出△=（1-2m）2-4×m×（1-3m）=（1-4m）2＞0，得出1-4m≠0，解不等式即可；

②y=m（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=-1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）；由|AB|=|xA-xB|得出|AB|=|-4|，由已知条件得出≤＜4，得出0＜|-4|≤，因此|AB|最大时，|-4|=，解方程得出m=8，或m=（舍去），即可得出结果．

【解析】
（Ⅰ）把m＝1，y＝0代入抛物线可得x2﹣x﹣2＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝2，

故该抛物线与x轴的公共点的坐标为（﹣1，0）或（2，0）；

（Ⅱ）①当m＝0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；

当m≠0时，

∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B，

∴△＝（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）＝（1﹣4m）2＞0，

∴1﹣4m≠0，

∴m≠，

∴m的取值范围为m≠0且m≠；

②|AB|＝|xA﹣xB|＝＝＝＝＝||＝|﹣4|，

∵＜m≤8，

∴≤＜4，

∴﹣≤﹣4＜0，

∴0＜|﹣4|≤，

∴|AB|最大时，||＝，

解得：m＝8，或m＝（舍去），

∴当m＝8时，|AB|有最大值，

此时△ABP的面积最大，没有最小值，

则面积最大为： |AB|yP＝××4＝．