Question

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA＝∠BCD．

（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗？为什么？．

（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为10，cos∠BFA＝，那么，你能求出△ACF的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由．

Answer

（1）BD是⊙O的切线,理由见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）BD是⊙O的切线．先连接OB，由于AC是直径，那么∠ABC=90°，于是∠1+∠C=90°，而OA=OB，可得∠1=∠2，结合∠3=∠C，易得∠2+∠3=90°，从而可证DB是⊙O的切线；

（2）由于cos∠BFA=，那么，利用圆周角定理可知∠E=∠C，∠4=∠5，易证△EBF∽△CAF，于是，从而易求△ACF的面积．

（1）BD是⊙O的切线．

理由：如图所示，连接OB，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，

∴∠1+∠C=90°，

∵OA=OB，

∴∠1=∠2，

∴∠2+∠C=90°，

∵∠3=∠C，

∴∠2+∠3=90°，

∴DB是⊙O的切线；

（2）在Rt△ABF中，

∵cos∠BFA=，

∴，

∵∠E=∠C，∠4=∠5，

∴△EBF∽△CAF，

∴，

即，

解之得：S△ACF=22.5．