Question

如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．

Answer

（1）见解析；（2）∠BMC =120°；∠AMB =120°；∠AMC=120°；（3）线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点．

【解析】

(1)结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB；

(2)连接MN，由(1)的结论证明△BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

(3)根据(2)中费马点的定义，又△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上，因此线段EC和BF的交点即为△ABC的费马点.

（1）证明：∵△ABE为等边三角形，

∴AB=BE，∠ABE=60°．

而∠MBN=60°，

∴∠ABM=∠EBN．

在△AMB与△ENB中，

∵

∴△AMB≌△ENB（SAS）．

（2）连接MN．

由（1）知，AM=EN．

∵∠MBN=60°，BM=BN，

∴△BMN为等边三角形．

∴BM=MN．

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．

∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．

此时，∠BMC=180°﹣∠NMB=120°；

∠AMB=∠ENB=180°﹣∠BNM=120°；

∠AMC=360°﹣∠BMC﹣∠AMB=120°．

（3）由（2）知，△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上．

因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点．

故答案为：（1）见解析；（2）∠BMC =120°；∠AMB =120°；∠AMC=120°；（3）线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点．