Question

如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，M，N分别为BE，CD的中点．

（1）求证：△ABE≌ACD；

（2）判断△AMN的形状，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）△AMN为等腰三角形；理由见解析

【解析】

（1）由∠BAC=∠DAE，等式左右两边都加上∠CAE，得到一对角相等，再由AB=AC，AD＝AE，利用SAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等；
（2）由M与N分别为BE，CD的中点，且BE=CD，可得出ME=ND，由△ABE与△ACD全等，对应角∠AEB=∠ADC，利用SAS可得出△AME与△AND全等，利用全等三角形的对应边相等可得出AM=AN，即△AMN为等腰三角形．

（1）∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS）；

（2）∵△ABE≌△ACD

∴BE＝CD，∠AEM＝∠ADC，

∵M、N分别为BE、CD的中点，

∴ME＝ND，

在△AEM和△ADN中，，

∴△AEM≌△ADN（SAS），

∴AM＝AN，

即△AMN为等腰三角形．