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如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等...

如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,FAB的中点,DEAB交于点G,EFAC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:

①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH=BD

其中正确结论的为______(请将所有正确的序号都填上).

 

①③④ 【解析】 试题根据已知先判断△ABC≌△EFA,则∠AEF=∠BAC,得出EF⊥AC,由等边三角形的性质得出∠BDF=30°,从而证得△DBF≌△EFA,则AE=DF,再由FE=AB,得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形,根据平行四边形的性质得出AD=4AG,从而得到答案. 【解析】 ∵△ACE是等边三角形, ∴∠EAC=60°,AE=AC, ∵∠BAC=30°, ∴∠FAE=∠ACB=90°,AB=2BC, ∵F为AB的中点, ∴AB=2AF, ∴BC=AF, ∴△ABC≌△EFA, ∴FE=AB, ∴∠AEF=∠BAC=30°, ∴EF⊥AC,故①正确, ∵EF⊥AC,∠ACB=90°, ∴HF∥BC, ∵F是AB的中点, ∴HF=BC, ∵BC=AB,AB=BD, ∴HF=BD,故④说法正确; ∵AD=BD,BF=AF, ∴∠DFB=90°,∠BDF=30°, ∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°, ∴∠DFB=∠EAF, ∵EF⊥AC, ∴∠AEF=30°, ∴∠BDF=∠AEF, ∴△DBF≌△EFA(AAS), ∴AE=DF, ∵FE=AB, ∴四边形ADFE为平行四边形, ∵AE≠EF, ∴四边形ADFE不是菱形; 故②说法不正确; ∴AG=AF, ∴AG=AB, ∵AD=AB, 则AD=4AG,故③说法正确, 故答案为:①③④.
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