Question

如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.

(1)求证：AD²＋BC²＝4R²；

(2)若弦AD，BC的长是方程x²－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．

Answer

（1）详见解析；（2）⊙O的半径是，点O到AD的距离是．

【解析】

（1）如图，作⊙O的直径DE，连接AE、CE．利用勾股定理和直角三角形外接圆半径证得结论；

（2）通过解方程求得AD、BC的值；然后将其代入（1）中的等式来求圆的半径；过点O作OF⊥AD于F，由垂径定理和勾股定理进行解答．

（1）如图，作⊙O的直径DE，连接AE、CE．

∵DE是直径，∴EC⊥CD．

又∵AB⊥CD，∴AB∥EC，∴，∴AE=CB．

由DE是直径得到：∠EAD=∠ECD=90°．

由勾股定理，得：AD2=DE2﹣AE2，∴AD2+BC2=DE2=4R2；

（2）由x2﹣6x+5=0，得：（x﹣1）（x﹣5）=0，解得：x1=1，x2=5．

∵AD，BC的长是方程x2﹣6x+5=0的两个根，且AD>BC，∴AD=5，BC=1．

又由（1）知，AD2+BC2=4R2，∴25+1=4R2，∴R．

如图，过点O作OF⊥AD于F，则FDAD．

在直角△OFD中，OD，FD．则由勾股定理知OF．

综上所述：⊙O的半径是，点O到AD的距离是．