Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.

(1)求证：PB是⊙O的切线；

(2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．

Answer

（1）详见解析；（2）⊙O的半径为1.

【解析】

（1）连结OB，由OA=OB，得∠OAB=∠OBA，再根据PA=PB，得∠PAB=∠PBA，从而得出∠PAO=∠PBO，由PA是⊙O的切线可推得∠PBO=90°，即OB⊥PB，所以PB是⊙O的切线；

（2）连结OP，根据PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，再由OA=OB，则点O在线段AB的垂直平分线上，从而得出OP垂直平分线段AB，根据BC⊥AB，得出PO∥BC，则∠AOP=∠ACB=60°．在Rt△APO中，利用tan∠AOP，求出AP，即可得出答案．

（1）连结OB．

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．

∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，即∠PAO=∠PBO．

又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB．

又∵OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线；

（2）连结OP．

∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．

∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上，∴OP垂直平分线段AB．

又∵BC⊥AB，∴PO∥BC，∴∠AOP=∠ACB=60°．

在Rt△APO中，∵tan∠AOPtan60°，AP，∴AO=1，∴⊙O的半径为1．