Question

如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer

（1）证明见解析；（2）6πcm2．

【解析】

试题连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．（1）求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可；

（2）证明△CDM≌△OBM，从而得到S阴影=S扇形BOC．

试题解析：如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．

（1）根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线；

（2）由（1）知，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD．由垂径定理可知，MD=MB=BD=3．在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB==6．

在△CDM与△OBM中，∴△CDM≌△OBM（ASA），∴S△CDM=S△OBM

∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC==6π（cm2）．