Question

如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20 cm，高为cm的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝(接缝忽略不计)，请问：选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮，才能使所用材料最省？

Answer

选长为90 cm，宽为60 cm的矩形铁皮，才能使所用材料最省．

【解析】

由于底面半径，高线，母线正好组成直角三角形，可由勾股定理求得母线长，则扇形的圆心角=底面周长×180÷（母线长×π），可在一长方形内画出一半径为60，圆心角为120°的扇形，有两种方案，由矩形和直角三角形的性质求得矩形长和宽，进而求得矩形的面积，比较即可得出用材料最省的方案．

∵圆锥形漏斗的底面半径为20cm，高为cm，∴圆锥的母线长为R60(cm)．

设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，则有=2π×20，解得：n=120．

方案一：如图①，扇形的半径为60 cm，矩形的宽为60 cm，易求得矩形的长为 cm．

此时矩形的面积为= (cm2)．

方案二：如图②，扇形与矩形的两边相切，有一边重合，易求得矩形的宽为60 cm，长为30＋60=90(cm)，此时矩形的面积为90×60=5 400(cm2)．

∵>5400，∴方案二所用材料最省，即选长为90 cm，宽为60 cm的矩形铁皮，才能使所用材料最省．